Suponha que você tenha duas amostras (i.e. as rendas da população negra e branca de sua cidade) e você queira comprovar que suas médias sejam significantemente diferentes, ou seja, que sejam diferentes mesmo considerando a variância e o tamanho das amostras. Isso é possível com um teste t de Student, um dos mais populares testes na estatística.
Vamos utilizar um dos datasets nativos do R para aplicar esse conceito, o mtcars. Primeiramente, vamos dar uma olhada em nossos dados.
data = mtcars
knitr::kable(head(data), booktabs = TRUE, digits = 2) |>
kableExtra::kable_styling(latex_options = c("striped"))| mpg | cyl | disp | hp | drat | wt | qsec | vs | am | gear | carb | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mazda RX4 | 21.0 | 6 | 160 | 110 | 3.90 | 2.62 | 16.46 | 0 | 1 | 4 | 4 |
| Mazda RX4 Wag | 21.0 | 6 | 160 | 110 | 3.90 | 2.88 | 17.02 | 0 | 1 | 4 | 4 |
| Datsun 710 | 22.8 | 4 | 108 | 93 | 3.85 | 2.32 | 18.61 | 1 | 1 | 4 | 1 |
| Hornet 4 Drive | 21.4 | 6 | 258 | 110 | 3.08 | 3.21 | 19.44 | 1 | 0 | 3 | 1 |
| Hornet Sportabout | 18.7 | 8 | 360 | 175 | 3.15 | 3.44 | 17.02 | 0 | 0 | 3 | 2 |
| Valiant | 18.1 | 6 | 225 | 105 | 2.76 | 3.46 | 20.22 | 1 | 0 | 3 | 1 |
Uma boa forma de ilustrar o teste é verificar se as médias de consumo dos carros (mpg, miles per gallon) com 4, 6 e 8 cilindros (cyl) diferem significantemente entre si.
# Médias amostrais
aggregate(mpg ~ cyl, data = data, FUN = mean) cyl mpg
1 4 26.66364
2 6 19.74286
3 8 15.10000Verificamos que as médias amostrais são diferentes. Resta saber se são significantemente diferentes. Plotar um boxplot pode nos ajudar a ter uma intuição. Podemos ver que, exceto pelo grupo de 4 cilindros que possui uma variância maior, os grupos são bem concentrados, de forma que podemos suspeitar que as diferenças sejam significantes.
# Boxplot
boxplot(mpg ~ cyl, data = data)
O teste t possui diversas variações — uma amostra, duas amostras pareadas, duas amostras independentes —, e correções para tratar diferenças na variância. Para este caso, temos três amostras independentes e, por hora, vamos supor que as variâncias do grupo 4 difere das demais e que a dos grupos 6 e 8 são iguais — deixaremos a análise de variâncias para outra postagem. Isso nos deixa com o teste t para duas amostras independentes.
A hipótese nula do teste é que as médias são significativamente iguais. Já a hipótese alternativa pode ser formulada como a não nulidade da diferença entre as médias ou \(\bar{X_1}\) maior ou menor que \(\bar{X_2}\). Aqui vamos usar a primeira opção:
\[ h_0: \bar{X_1} - \bar{X_2} = 0 \\ h_1: \bar{X_1} - \bar{X_2} \neq 0 \] A estatística t para esse teste é calculada da maneira abaixo. Note que se tomarmos o limite de \(t(n)\), com \(n \rightarrow \infty\), \(t\rightarrow \infty\), causando a rejeição de \(h_0\). Dessa forma, em último caso, o teste t é um teste de tamanho de amostra, ou seja, se sua amostra for suficientemente grande e as médias divergirem, elas tenderão a ser também significantemente diferentes.
\[ t = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{s_p . \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \]
Como primeiro caso, vamos comparar as médias de consumo dos veículos com 6 e 8 cilindros. Como estamos considerando que suas variâncias são iguais, temos de usar o argumento var.equal = TRUE:
# teste t para 6 e 8 cilindros
t.test(mpg ~ cyl, data = data[which(data$cyl != 4),], var.equal = TRUE)
Two Sample t-test
data: mpg by cyl
t = 4.419, df = 19, p-value = 0.0002947
alternative hypothesis: true difference in means between group 6 and group 8 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
2.443809 6.841905
sample estimates:
mean in group 6 mean in group 8
19.74286 15.10000 Com p-valor de zero, podemos rejeitar a hipótese nula e considerar que as médias de consumo entre os veículos de 6 e 8 cilindros diferem.
Para as demais comparações, vamos usar o default para var.equal que é FALSE. Isso significa aplicar a correção de Welch para amostras independentes e de variância diferentes. Como esperado, também podemos rejeitar a hipótese nula e confirmar a diferença nas médias de consumo entre os veículos de 4 e 6 cilindros e 4 e 8 cilindros.
# teste t para 4 e 8 cilindros
t.test(mpg ~ cyl, data = data[which(data$cyl != 6),])
Welch Two Sample t-test
data: mpg by cyl
t = 7.5967, df = 14.967, p-value = 1.641e-06
alternative hypothesis: true difference in means between group 4 and group 8 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
8.318518 14.808755
sample estimates:
mean in group 4 mean in group 8
26.66364 15.10000 # teste t para 4 e 6 cilindros
t.test(mpg ~ cyl, data = data[which(data$cyl != 8),])
Welch Two Sample t-test
data: mpg by cyl
t = 4.7191, df = 12.956, p-value = 0.0004048
alternative hypothesis: true difference in means between group 4 and group 6 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
3.751376 10.090182
sample estimates:
mean in group 4 mean in group 6
26.66364 19.74286 Easy peasy lemon squeezy, não é?