Todos os modelos estão errados, mas alguns são inúteis
Parte I: Correlação de Pearson e significância
time-series
Autor
Alberson Miranda
Data de Publicação
19 de abril de 2025
TL;DR
Quando usar o coeficiente de correlação de Pearson, sempre teste a significância. Mas não o utilize para analisar séries temporais. É um erro comum. Isso viola a independência das observações e ignora o relacionamento entre defasagens. Em vez disso, use a análise de cross-correlograma para identificar relações entre séries temporais, incluindo relações defasadas.
“Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis” é uma frase recorrente entre aqueles que praticam estatística. Ela se origina de uma afirmação de George Box, um dos grandes estatísticos do século XX: “Since all models are wrong the scientist must be alert to what is importantly wrong.” (Box 1976). “Todos os modelos estão errados” significa que os modelos são intrinsecamente limitados e não capturam perfeitamente a realidade. Em outras palavras, um modelo é uma representação simplificada da realidade, usada para explicar ou prever um fenômeno. Se fosse uma explicação perfeita desse fenômeno, deixaria de ser um modelo e se tornaria uma lei.
Na estatística, lidamos essencialmente com variáveis aleatórias ou estocásticas, ou seja, variáveis que possuem uma distribuição de probabilidade (Gujarati e Porter 2021). Nossa missão como analistas é desenvolver e utilizar métodos que nos digam como formular funções que nos permitam descrever e prever o relacionamento entre essas variáveis, minimizando os erros estocásticos.
Dependendo da forma funcional e do método de estimação escolhido, há uma série de pressupostos que devem ser atendidos para que qualquer inferência sobre o erro, coeficientes, preditores e regressandos seja válida. Se esses pressupostos forem ignorados, não há garantia de que os resultados encontrados sejam uma aproximação ótima da função que se deseja estimar. Mais do que isso, a violação de alguns desses pressupostos pode gerar resultados enganosos, mostrando relações estatísticas significativas onde não deveria haver, subestimando ou superestimando o objeto de estudo.
Neste post, abordo alguns erros metodológicos frequentes que fazem com que alguns modelos sejam inúteis.
1 VAMOS PEGAR ALGUNS DADOS
Você já ouviu falar do conjunto de dados presidents? Do pacote {datasets}, ele armazena as avaliações trimestrais de aprovação dos presidentes dos EUA de 1945 a 1974. Será que existe alguma relação com o índice de preços ao consumidor (CPI), PIB real, taxa de desemprego ou taxas de juros? Vamos descobrir!
# convert to dataframepresi <-data.frame(date = zoo::as.Date(zoo::as.yearqtr(time(presidents))),ratings =as.vector(presidents)) |>na.omit()# get CPI and funds rates from FREDquantmod::getSymbols(c("CPIAUCSL", "FEDFUNDS", "GDPC1", "UNRATE"),src ="FRED")
[1] "CPIAUCSL" "FEDFUNDS" "GDPC1" "UNRATE"
# convert to time seriesseries <-lapply(list(CPIAUCSL, FEDFUNDS, GDPC1, UNRATE), function(serie) {# serie name serie_name <-names(serie)# convert to dataframedata.frame(date = zoo::as.Date(zoo::as.yearmon(time(serie))),value =as.vector(serie) ) |>setNames(c("date", serie_name))})# merge datasetspresi_merged <-Reduce(function(x, y) merge(x, y, by ="date"),c(list(presi), series))# visualizekbl(head(presi_merged), booktabs =TRUE, digits =2) |>kable_styling(latex_options =c("striped", "scale_down"))
O primeiro, e frequentemente único, recurso para seleção de variáveis e especificação de modelos entre aqueles não iniciados em análise de séries temporais é o coeficiente de correlação de Pearson \(r\). Se tentarmos usá-lo, teremos os seguintes resultados (Tabela 2):
De acordo com a regra de bolso para interpretar o tamanho do efeito do coeficiente de correlação de Pearson1, CPI, taxas de juros e PIB têm alta correlação com a aprovação presidencial, enquanto a taxa de desemprego tem correlação pequena.
Mesmo que fosse apropriado usar o coeficiente de correlação de Pearson para selecionar variáveis, seria necessário realizar um teste para verificar se o coeficiente encontrado é estatisticamente significativo. Neste caso, podemos verificar que a correlação de 10% entre aprovação presidencial e taxa de desemprego não é significativa. Ignorar testes de significância resulta em interpretações errôneas, levando o analista a encontrar relações onde, na verdade, não existem.
Quando se trata de estatística inferencial, fazer qualquer afirmação exige a realização de testes de hipótese. Exceto em casos extremos que impedem a estimação de algum coeficiente, na maioria dos casos, é possível obter alguma medida estatística, como em regressões, análise de variância, correlações, etc. No entanto, obter um número não significa que ele é válido ou pode ser utilizado.
O coeficiente de correlação calculado a partir de uma amostra (\(r\)) é uma estimativa pontual de um parâmetro populacional (\(\rho\)). Como qualquer estimativa baseada em amostra, possui variabilidade amostral e, portanto, deve ser acompanhado de um intervalo de confiança (IC) que reflita a incerteza dessa estimativa e forneça um intervalo de valores plausíveis para o verdadeiro parâmetro populacional. Esse valor \(r\) é um ponto central (média) em torno do qual o intervalo de confiança para o valor verdadeiro é construído.
Se, devido à variabilidade amostral, \(0 \in IC\) (por exemplo, \(r=0.05\) com intervalo de confiança de \([-0.01,0.11]\)), então não há evidência estatística para afirmar que o valor médio de 0,05 é diferente de zero.
3 ERRO #2: USAR O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON
Na seção Seção 2, eu disse “mesmo que fosse apropriado”, porque não é. O coeficiente de Pearson é inadequado para avaliar a correlação entre duas séries temporais porque viola pressupostos fundamentais do coeficiente de Pearson.
Primeiro, viola a independência das observações. Um dos pressupostos de \(r\) é a independência das observações dentro de cada variável e entre variáveis. Séries temporais, por natureza, geralmente apresentam autocorrelação, ou seja, uma observação \(y_t\) está correlacionada com \(y_{t-1}, y_{t-2}, \ldots, y_{t-n}\).
Segundo, ignora o relacionamento entre defasagens. A correlação entre duas séries temporais \(y_t\) e \(z_t\) pode não ser contemporânea. Uma série pode influenciar a outra com algum atraso (por exemplo, \(y_t\) correlacionada com \(z_{t-3}\), mas não com \(z_t\)). O coeficiente de Pearson mede apenas a relação linear no mesmo ponto do tempo, ignorando essas relações defasadas.
Existem algumas formas válidas de identificar a relação entre duas séries temporais. Uma das mais simples é a análise do correlograma cruzado. Ela permite identificar não apenas a relação contemporânea, mas também a relação em cada defasagem da série temporal.
Agora vamos observar o correlograma cruzado entre a série temporal da taxa de desemprego e a aprovação presidencial:
Figura 2: Correlograma cruzado entre a taxa de desemprego e as avaliações de aprovação presidencial.
Se fosse apropriado analisar as duas séries temporais diretamente, veríamos que, embora não haja correlação contemporânea significativa — como vemos pela correlação dentro do intervalo de confiança em lag 0 —, elas aparecem a partir de \(t-2\), o que significaria que a taxa de desemprego de 2 meses atrás impacta a aprovação presidencial atual.
Referências
Box, George Edard Pelham. 1976. «Science and Statistics». Journal of the American Statistical Association 71 (356): 791–99.
